Je vous ai posé la question suivante sur Twitter:

« Laquelle de ces deux courbes a été générée aléatoirement? »

Voici vos réponses:

Avant d’aller plus loin, mettons nous d’accord sur les termes, sans être trop « académique ». Une variable est aléatoire si on ne peut connaître sa valeur avant que l’événement qui la génère n’ait eu lieu. Par exemple, le résultat d’un lancer de dés est aléatoire puisqu’on ne peut connaître le résultat final tant que les dés n’ont pas fini de rouler. Les autres événements sont dits déterministes.

Dans ce cas précis, nos deux courbes ont été générées par une suite dite « logistique », qui prend la forme suivante:

$x_{n+1} = r * x_n * (1 – x_n)$

Où $x_0$ est une valeur donnée pouvant prendre n’importe quelle valeur entre 0 et 1 (et choisie arbitrairement égale à 0.1 dans le cas des graphes du quizz). En ne connaissant que $x_0$ et la forme de la suite logistique, nous pouvons ainsi connaître de manière certaine $x_1$, ce qui nous permettra de calculer ensuite $x_2$, puis $x_3$, et ainsi de suite, à l’inifini.

En prenant par exemple $r = 2$ et $x_0 = 0.1$, nous obtiendrions les trois premiers termes:

$x_0 = 0.1$

$x_1 = 2 * x_0 * (1 – x_0) = 2 * 0.1 * 0.9 = 0.18$

$x_2 = 2 * x_1 * (1 – x_1) = 2 * 0.18 * 0.82 = 0.2952$

Il n’y a donc rien ici qui ne dépende du hasard et nos deux courbes sont purement déterministes, comme environ 40% d’entre-vous l’avait deviné.

Alors pourquoi est-ce que l’une des courbes à l’air « plus aléatoire » que l’autre? En réalité, le seul moyen de les distinguer est la valeur attribuée au paramètre $r$ dans la définition de la suite logistique. Pour certaines valeurs de ce paramètre, la suite admet un ou plusieurs « attracteurs » (ou points fixes), c’est à dire des points vers lesquels la courbe va converger ou osciller. Dans le cas de la courbe bleue, le paramètre $r$ a été fixé à 2 et nous obtenons ainsi un unique point d’attraction à 0.5. Dans le cas le courbe rouge, $r$ est égal à 4, il n’y a pas d’attracteur et la courbe a ce comportement « chaotique ».

Pourquoi toutes ces considérations? Parce que nous avons là la base pour illustrer le célèbre effet papillon1)Si l’histoire du terme vous intéresse, je vous encourage à lire « Sea gulls, butterflies, and grasshoppers: A brief history of the butterfly effect in nonlinear dynamics » de Robert C. Hillborn : « Un battement d’aile de papillon au Brésil peut-il déclencher une tornade au Texas? »

Pour le voir, modifions notre valeur de $x_0$ (égale à 0.1) lorsque $r = 4$. Plutôt qu’une longue explication, voici à quoi ressemble notre graphique lorsque $x_0 = 0.1$ (en rouge) et $x_0 = 0.10000000333$ 2)Ou $1 + 3.33 * 10^{-9}$ (en bleu).

Nous avons ici deux courbes parfaitement déterministes, qui suivent la même loi, mais qui diffèrent initialement d’une valeur que l’on pourrait considérer comme négligeable (un « battement d’aile de papillon ») et qui résultent pourtant très rapidement en deux courbes radicalement différentes après 25 itérations. C’est pour cela qu’en théorie du chaos, on appelle l’effet papillon « sensibilité aux conditions initiales ».

Vous comprenez aisément la difficulté qu’il peut exister à prévoir le comportement d’un système chaotique. Vous auriez beau avoir réussi à déterminer l’équation parfaite pour décrire votre système3)Vous seriez alors en quelque sorte devenu le « démon de Laplace », une toute petite erreur de mesure mettrait entièrement à mal vos projections. Petite comment? Ici, le ratio de la valeur initiale de la courbe bleue sur celui de la courbe rouge correspond… à un grain de sable comparé à la taille de la Tour Eiffel.

Quelques liens externes

La théorie du chaos et la sensibilité aux conditions initiales peuvent fournir de très beaux objets mathématiques, et je vous propose ici quelques ressources externes, sans plus d’explications.

Premièrement, l’attracteur de Hénon, qui génère un ensemble de points en deux dimensions d’une manière similaire à l’équation logistique ci-dessus. Malheureusement, la sensibilité aux conditions initiales n’est pas visible sur cette petite application.

Plus intéressant, le modèle de Lorenz génère une trajectoire en trois dimensions. Une fois que vous aurez lu la petite explication au début de la page, je vous propose de passer au deuxième programme de la page et de cocher la case « sensibilité aux conditions initiales. » Vous pourrez alors voir évoluer en direct la position de deux points suivant le même modèle, mais avec une très légère différence de position initiale. Voici ce que vous obtenez (pensez à cliquer sur « sensibilité aux conditions initiales »).

References   [ + ]

1. Si l’histoire du terme vous intéresse, je vous encourage à lire « Sea gulls, butterflies, and grasshoppers: A brief history of the butterfly effect in nonlinear dynamics » de Robert C. Hillborn
2. Ou $1 + 3.33 * 10^{-9}$
3. Vous seriez alors en quelque sorte devenu le « démon de Laplace »