Vous lancez une pièce non-pipée 6 fois. En notant F pour face et P pour pile, lequel, parmi les quatre scénarios suivants, a le plus de chance de se réaliser ?
Scénario A : FFFFFF
Scénario B : FPPFPF
Scénario C : FPFPFP
Scénario D : FFFPPP

Prenez le temps d’y réfléchir une minute avant de poursuivre.

Réponses

J’ai fais le test en anglais depuis mon compte Twitter et Arnaud Leparmentier, que je remercie au passage, a bien voulu poser la même question en français, dans un ordre différent et en inversant pile et face. Voici les résultats présentés de façon homogène pour faciliter la lecture :

Depuis mon compte (125 votes) :

A B C D
FFFFFF FPPFPF FPFPFP FFFPPP
13% 48% 30% 9%

 

Depuis celui d’Arnaud (278 votes) :

A B C D
FFFFFF FPPFPF FPFPFP FFFPPP
12% 45% 30% 9%

 

Or, et vous êtes nombreux à l’avoir compris, it’s a trap! Aucun de ces scénarios n’a plus de chances de se réaliser que les autres pour la bonne et simple raison qu’ils ont tous exactement 1 chance sur 64 de se réaliser. En cas de doute, vous trouverez les 64 ($2^6$) permutations possibles après 6 lancers à la fin de cet article.

Il n’y a donc pas de bonne réponse à ma question et pourtant, comme vous pouvez le voir, les résultats obtenus sur ces deux petits sondages sont très similaires. Si on met de côté ceux qui ont vu le piège, la plupart de gens estiment que les options A (FFFFFF) et D (FFFPPP) sont les moins probables, en deuxième position on trouve l’option C (FPFPFP) et la gagnante sans partage, c’est clairement la réponse B (FPPFPF).

C’est exactement les résultats que nous attendions.

Explications

Si, dans votre outillage intellectuel, vous ne disposez pas de l’option probabilités, vous avez probablement utilisé l’heuristique de représentativité1)Une heuristique est un petit processus mental qui nous permet de résoudre rapidement des problèmes auxquels nous sommes confrontés au prix, parfois, de nous faire commettre des erreurs de jugement. ; un petit moteur de prise de décision en environnement incertain qui nous suggère — à tort — qu’un échantillon représentatif de la population d’ensemble est plus probable qu’un échantillon qui l’est moins.

Qu’est-ce que c’est qu’un échantillon représentatif de la population d’ensemble ? Eh bien c’est l’image que vous vous faites de ce à quoi devrait ressembler le résultat de six tirages à pile ou face.

D’abord, vous vous attendez à ce qu’il y ait à peu près le même nombre de piles et de faces ; c’est pour cette raison que vous avez éliminé le scénario A (FFFFFF). On appelle ça le biais d’uniformité : dans notre esprit, le hasard est forcément uniforme. Bien sûr, il y a, dans notre population globale, plus de scénarios où le nombre de piles et de faces s’équilibre (20) que de scénarios où face tombe six fois (1 seul) ; il est donc juste de dire qu’il est plus probable de tomber sur un scénario de type B (autant de piles que de faces) que de type A (seulement des faces). Pour autant, le scénario B spécifiquement n’est pas plus probable que le scénario A : c’est toujours une chance sur 64.

Ensuite, votre intuition vous dit que l’ordre des piles et des faces devrait « avoir l’air » aléatoire. Au sens de Levin-Chaitin, une suite a l’air d’autant plus aléatoire que l’algorithme nécessaire pour la décrire est long. C’est un critère connu sous le nom de complexité de Kolmogorov. On peut décrire le scénario A (FFFFFF) et disant tout simplement « 6 fois F », pour le scénario C (FPFPFP) « 3 fois FP » est à peine plus long et pour le scénario D (FFFPPP), vous pouvez vous pouvez vous contenter de « 3 fois F puis 3 fois P ». Mais pour le scénario B (FPPFPF), il n’y a pas plus court que « F puis P puis P puis F puis P puis F ». C’est le scénario le plus complexe au sens de Kolmogorov et donc celui qui a l’air le plus aléatoire.

Les scénario C (FPFPFP) et D (FFFPPP) ont donc ceci de commun que vous y avez repéré immédiatement un motif régulier, une forme. On appelle ça de la paréidolie : c’est la tendance qu’à notre cerveau à repérer des motifs connus, y compris dans des données purement aléatoires. Le visage de Mars est un exemple classique, c’est le principe du test de Rorschach et on retrouve ça aussi chez les chartistes en bourse : ils voient des “formations” pleines de sens partout, même dans courbes générées de façon aléatoire. Or, ces deux scénarios affichent des régularités ou des symétries qui vous sautent immédiatement au yeux et qui, dans notre esprit, ne ressemblent pas au hasard.

Dans le cas du scénario D (FFFPPP), il y a même encore pire que ça : vous y avez vu des paquets, des clusters en anglais. On appelle ça clustering illusion (illusion des séries en français) : nous avons un mal fou à admettre que ces petits amas qui se forment inévitablement dans des données aléatoires sont le fruit du hasard. Pour notre esprit, forcément, ces paquets ne peuvent se former que si on les forme volontairement, comme l’alignement de trois points. Raison pour laquelle le scénario C (FPFPFP) vous semble plus aléatoire que le scénario scénario D (FFFPPP).

10 000 points aléatoires… et des paquets

Or voilà : notre cerveau nous dit que ce qui n’est pas uniforme et n’a pas l’air aléatoire n’est pas représentatif d’un lancer de pièces et notre heuristique de représentativité nous suggère que ce qui n’est pas représentatif n’est pas probable. Raison pour laquelle la plupart des participants ont voté pour la réponse B. Notre cerveau, habituellement si utile, nous joue des tours mais la bonne nouvelle et ceux qui ont vu le piège en témoignent, c’est que ces petits biais se corrigent avec un peu d’entraînement.

Les 64 permutations possibles

FFFFFF FPFFFF PFFFFF PPFFFF
FFFFFP FPFFFP PFFFFP PPFFFP
FFFFPF FPFFPF PFFFPF PPFFPF
FFFFPP FPFFPP PFFFPP PPFFPP
FFFPFF FPFPFF PFFPFF PPFPFF
FFFPFP FPFPFP PFFPFP PPFPFP
FFFPPF FPFPPF PFFPPF PPFPPF
FFFPPP FPFPPP PFFPPP PPFPPP
FFPFFF FPPFFF PFPFFF PPPFFF
FFPFFP FPPFFP PFPFFP PPPFFP
FFPFPF FPPFPF PFPFPF PPPFPF
FFPFPP FPPFPP PFPFPP PPPFPP
FFPPFF FPPPFF PFPPFF PPPPFF
FFPPFP FPPPFP PFPPFP PPPPFP
FFPPPF FPPPPF PFPPPF PPPPPF
FFPPPP FPPPPP PFPPPP PPPPPP

References   [ + ]

1. Une heuristique est un petit processus mental qui nous permet de résoudre rapidement des problèmes auxquels nous sommes confrontés au prix, parfois, de nous faire commettre des erreurs de jugement.