Sur un total de 80 réponses à notre quiz sur le dilemme du prisonnier, vous êtes 57 à avoir fait confiance (ci-après « coopérer ») et donc 23 à ne pas avoir fait confiance (ci-après « faire défaut »). Ce résultat est en contradiction flagrante avec la théorie.

Bien sûr, le cadre expérimental que nous vous avons proposé est très loin d’être parfait. L’échantillon est bien trop petit, il est largement biaisé1)Mais peut-être pas dans le sens auquel vous pensiez : il était majoritairement masculin et composé en bonne partie de gens qui connaissaient déjà le dilemme et ses différentes variantes. En principe, vous dû coopérer moins que la moyenne. et, sans que cette liste soit exhaustive, les gains potentiels étaient parfaitement théoriques.

Néanmoins et malgré ce qui précède, vous êtes plus de 71% à coopérer ce qui est quand même très significatif. Il n’y a, à ma connaissance, que deux explications qui permettent d’expliquer un tel taux de coopération.

Ceux qui se sont trompés

Il semble, en lisant certains commentaires, que quelques-uns ont cru que, parce qu’ils anticipaient un fort taux de coopération, ils avaient eux-aussi intérêt à coopérer. L’anticipation était correcte — j’y reviens plus loin — mais la conclusion est fausse. Démonstration :

Pour chacun de ceux qui ont décidé de coopérer, la probabilité de tomber sur autre coopérateur (et donc de gagner € 900) était d’un peu moins de 71%2)Évidemment, vous ne pouviez pas le savoir au moment où vous répondiez. :

$$ P(C|C) = \frac{57-1}{80-1} $$
Et donc, vous aviez un peu plus de 29% de chances de tomber sur quelqu’un qui fait défaut (et donc, ne rien gagner du tout) :

$$ P(D|C) = \frac{23}{80-1} $$

Symétriquement, pour celles et ceux qui ont fait défaut, la probabilité de tomber sur un coopérateur (et de gagner € 1 000) était de l’ordre de 72% :
$$ P(C|D) = \frac{57}{80-1} $$
Ce qui laissait environ 27.8% de chance de tomber sur un autre joueur qui fait aussi défaut (et donc gagner € 100) :
$$ P(D|D) = \frac{23-1}{80-1} $$

De là, vous pouvez facilement calculer l’espérance de gain de chaque stratégie. Pour ceux qui ont coopéré :
$$ \frac{56}{79} \times 900 + \frac{23}{79} \times 0 \approx 638 $$
Pour ceux qui ont fait défaut :
$$ \frac{57}{79} \times 1000 + \frac{22}{79} \times 100 \approx 749 $$

C’est-à-dire que vous aviez donc matériellement intérêt à faire défaut et c’est vrai quelles que soient vos anticipations sur la stratégie des autres.

Si cette idée vous chiffonne, un petit raisonnement extrême devrait vous convaincre : si une seule personne sur 1 millions de joueurs faisait défaut, elle gagnerait 1 000 euros, son malheureux opposant ne gagnerait rien et 999 998 personnes gagneraient 900 euros. En moyenne, le joueur qui fait défaut gagne donc 1 000 euros et ceux qui coopèrent gagnent 899.9982 euros.

Il n’y a pas moyen d’en sortir : faire défaut est toujours l’option qui rapporte le plus. C’est pour ça qu’on l’appelle stratégie dominante.

Ceux qui ont coopéré quand même

Sauf que, parmi les 57 qui ont coopéré, vous êtes manifestement un certain nombre à avoir parfaitement compris les règles du jeu et à avoir tout simplement suivi une autre forme de rationalité que celle qu’on attendait de vous. C’est tout à fait explicite dans certains commentaires : vous savez que coopérer réduit votre espérance de gain de € 100 mais vous le faites quand même.

En théorie des jeux, la forme de rationalité d’un individu qui coopère dans un dilemme du prisonnier parce qu’il pense que les autres joueurs vont aussi coopérer, ça s’appelle de la superrationalité. Ce n’est pas un modèle très utilisé et pourtant, c’est bien ce que vous avez majoritairement fait et vous n’êtes pas les premiers.

Homo sapiens est un animal social. Nous sommes le produit de millions d’années d’évolution et, tout au long de cette grande aventure, nos ancêtres d’abord puis notre propre espèce a eu amplement le temps de découvrir les bienfaits de la coopération en société. Coopérer, c’est profondément ancré dans notre nature ; nous sommes programmés pour ça. Nous ne sommes pas les seuls (les rats, par exemple, ne sont pas mauvais à ce jeu) mais nous sommes les champions de toutes les espèces connues à ce jour.

C’est-à-dire qu’au fil de notre évolution, nous avons été sélectionnés pour notre propension à coopérer. En soit, le simple fait de coopérer avec quelqu’un qui coopère en retour nous procure de la satisfaction, l’utilité au sens économique du terme ; ça a été démontré par la recherche en neurosciences et, précisément, dans le cadre de dilemmes du prisonnier3)Voir Nicolas Eber sur culturemath.ens.fr. Manifestement, vous êtes une solide majorité à avoir pensé que gagner à deux, ça valait bien une centaine d’euros.

Enfin, pour qu’un raisonnement superrationel soit possible, vous devez être convaincu que les autres sont aussi superrationels. C’est donc aussi une question de confiance4)Beaucoup de ceux qui ont fait défaut ont justement cité cet argument., l’idée selon laquelle nous devrions tous faire le même raisonnement et donc, aboutir à la même conclusion sans avoir besoin d’en parler. Une façon d’envisager le problème magnifiquement résumée par le commentaire de @CarolineDRX : « Je joue avec moi-même. »

Voici les résultats :

Groupe A Coopère Gain Groupe B Coopère Gain
A_Challeat TRUE 900 Volodia11 TRUE 900
Snowcairn FALSE 1000 phmichot TRUE 0
Rouliabonomi TRUE 0 ClementinC FALSE 1000
bursteinvk TRUE 0 Renaudlaffont FALSE 1000
Femeski FALSE 1000 Liberteeadoree TRUE 0
Stephane22 TRUE 900 jgh155 TRUE 900
EDUCRAY FALSE 1000 Papou_a_poux TRUE 0
aubordducanal FALSE 100 jdl288 FALSE 100
zebodag TRUE 900 mrgwenn TRUE 900
Alek_Gold TRUE 900 Lamagnerel TRUE 900
3w1nd TRUE 900 sdausend TRUE 900
TheoAndreux TRUE 0 Tom_Beckley0 FALSE 1000
morateur FALSE 1000 MegaLuigi TRUE 0
anne__lavigne TRUE 0 jdcsef FALSE 1000
ladislas26 FALSE 1000 rvieux TRUE 0
auriguerit FALSE 100 xfaure FALSE 100
fra375 TRUE 900 Bendecoye TRUE 900
vadimplt TRUE 900 Elo_le_Gaucho TRUE 900
Cedblum TRUE 0 friedfrie FALSE 1000
arseneahouansou TRUE 900 CarolineDRX TRUE 900
BayesReality TRUE 900 gamacke TRUE 900
Clementagg TRUE 900 claudemery1 TRUE 900
babils TRUE 900 cat_cat57 TRUE 900
johannd49 TRUE 900 Jhfeildel TRUE 900
Modj0r FALSE 1000 TheManuell TRUE 0
Deadbydawn75 TRUE 900 Tbt59fr TRUE 900
eliaschedid TRUE 0 Nathan0neal FALSE 1000
ludo44270 TRUE 900 Mrsbulles TRUE 900
Valettaise TRUE 900 Waddle4ever TRUE 900
Timeo_Danaos TRUE 900 timo_obrecht TRUE 900
tomroud TRUE 900 Manel_bertrand TRUE 900
Fred_A18 TRUE 0 francbelge FALSE 1000
romain_bp TRUE 0 anabzlk FALSE 1000
jul_del TRUE 0 ThomasForray FALSE 1000
kumaaaaaaaar TRUE 0 Josselinstern FALSE 1000
sylvainCF TRUE 0 regis_alenda FALSE 1000
Ptaah_LSG TRUE 900 akaflementine TRUE 900
Salvadorcedric TRUE 900 un_glouton TRUE 900
Aubin FALSE 1000 DamienLavandier TRUE 0
ltr TRUE 0 Libertyinvaders FALSE 1000

References   [ + ]

1. Mais peut-être pas dans le sens auquel vous pensiez : il était majoritairement masculin et composé en bonne partie de gens qui connaissaient déjà le dilemme et ses différentes variantes. En principe, vous dû coopérer moins que la moyenne.
2. Évidemment, vous ne pouviez pas le savoir au moment où vous répondiez.
3. Voir Nicolas Eber sur culturemath.ens.fr
4. Beaucoup de ceux qui ont fait défaut ont justement cité cet argument.