On vous présente 3 enveloppes parfaitement identiques : l’une d’entre elles contient un billet de € 500 tandis que les deux autres sont vides1)La version classique du problème parle de trois portes derrières lesquelles il y a une voiture et deux chèvres. Peu importe.. Vous en choisissez une au hasard sans l’ouvrir — disons l’enveloppe 1.

À ce moment-là, l’organisateur du jeu, qui sait où se trouve le billet, ouvre devant vous l’enveloppe 3 et vous montre qu’elle est vide. Que faites-vous ? Vous restez sur votre choix initial (l’enveloppe 1) ou vous changez d’enveloppe (l’enveloppe 2) ?

Eh bien figurez vous que, contrairement à ce que nous avons tous tendance à croire de prime abord, vous devriez changer d’enveloppe. Démonstration.

Sans maths

Nous avons 3 hypothèses : $H1$, $H2$ et $H3$ qui supposent, respectivement, que l’argent est dans l’enveloppe 1, 2 ou 3 (ci-dessous, les disques bleus). Au début du jeu, les probabilités de $H1$, $H2$ et $H3$ sont identiques à 1 chance sur 3 chacune :

À ce stade, vous avez choisi l’enveloppe 1 (en vert ci-dessus) et l’organisateur ouvre l’enveloppe 3 qui se révèle être vide. Naturellement, ça exclut notre hypothèse $H3$.

Et c’est là que se niche le piège du problème de Monty Hall. Pour la plupart des gens, ça s’arrête là : $H3$ est exclue, il ne reste donc plus que deux possibilités ($H1$ et $H2$) et elles sont équiprobables ; dès lors, il n’y a pas plus de raison de garder l’enveloppe 1 que de changer pour l’enveloppe 2. Mais non, c’est faux.

Regardez bien mon schéma : en supposant que $H1$ soit vraie, quelle est la probabilité pour que l’organisateur ait ouvert l’enveloppe 3 ? Comme il ne pouvait pas ouvrir l’enveloppe 1 (sinon il vous aurait donné la réponse à notre question), ça faisait une chance sur deux n’est-ce pas ? Et comme la probabilité de $H1$ est de $\frac{1}{3}$, au total, ce scénario correspond à une probabilité de $\frac{1}{6}$ ($\frac{1}{3} \times\frac{1}{2}$).

Maintenant, supposez que $H2$ soit vraie et demandez vous quelle est la probabilité pour que l’organisateur ait ouvert cette même troisième enveloppe ? L’organisateur ne pouvait toujours pas ouvrir la première enveloppe, il ne pouvait pas ouvrir la seconde (puisque, pas hypothèse, c’est là que se trouve l’argent) et il n’avait donc pas le choix : il devait ouvrir l’enveloppe 3, la probabilité est de 1. Or, comme la probabilité de $H2$ c’est $\frac{1}{3}$, ça signifie que ce scénario correspond à une probabilité de $\frac{1}{3}$ ($\frac{1}{3} \times 1$).

En d’autres termes, en ouvrant cette troisième enveloppe, l’organisateur ne fait pas qu’éliminer $H3$ : il nous indique aussi que la probabilité pour que l’argent soit dans la deuxième enveloppe ($\frac{1}{3}$) est 2 fois plus élevée que celle pour qu’il soit dans la première ($\frac{1}{6}$). En multipliant ces chiffres par deux de façon à ce que la somme des probabilités soit égale à 1, vous n’avez qu’une chance sur trois pour que l’enveloppe 1 contienne bien les € 500 et deux chances sur trois pour que le billet soit dans l’enveloppe 2 : vous avez donc tout intérêt à changer d’avis.

Avec des maths

Nous savons que :

$$P(H1) = P(H2) = P(H3) = \frac{1}{3}$$

Or l’organisateur ouvre la troisième enveloppe, nous noterons ça $O3$, et vous voyez facilement que ça n’avait qu’une chance sur deux d’arriver :

$$P(O3) = \frac{1}{2}$$

En revanche, pour les raisons expliquées plus haut, nous savons que la probabilité conditionnelle de $O3$ sachant $H2$ est égale à l’unité (i.e. si l’argent est dans la deuxième enveloppe, l’organisateur n’avait pas le choix) :

$$P(O3|H2) = 1$$

Reste donc à déterminer la probabilité pour que l’argent soit dans l’enveloppe 2 ($H2$) sachant que le présentateur a ouvert la troisième enveloppe ($O3$). En appliquant la formule de Bayes :

$$P(H2|O3) = \frac{P(O3|H2).P(H2)}{P(O3)}$$

C’est-à-dire :

$$P(H2|O3) = \frac{1 \times \frac{1}{3}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{3}$$

C’est-à-dire qu’il y a deux chances sur trois pour que les € 500 se trouve dans l’enveloppe 2. Vous avez donc tout intérêt à changer d’enveloppe.

References   [ + ]

1. La version classique du problème parle de trois portes derrières lesquelles il y a une voiture et deux chèvres. Peu importe.