On vous présente deux enveloppes parfaitement identiques qui contiennent chacune une somme positive de monnaie sachant qu’une des deux enveloppes contient le double de l’autre.

Supposez que vous ayez choisi l’une des deux au hasard mais, qu’au dernier moment, on vous propose de changer d’avis. Que faites-vous ?

Voici une façon d’y réfléchir : notons $A$ le montant contenu dans l’enveloppe que vous avez sélectionné au hasard. Vous savez qu’il y a une chance sur 2 pour que l’autre enveloppe contienne $2 \times A$ et une chance sur deux pour qu’elle contienne $\frac{A}{2}$. Du coup, l’espérance de gain de l’autre enveloppe s’écrit :

$$ E = \frac{1}{2} \times 2A + \frac{1}{2} \times \frac{A}{2} = \frac{5}{4} \times A$$

Or, ce résultat est plus grand que $A$. C’est-à-dire que vous avez tout intérêt à changer d’enveloppe pour gagner un quart de $A$ en plus.

Sauf que voilà : une fois votre changement d’avis opéré, vous pouvez faire exactement le même raisonnement avec le contenu de votre nouvelle enveloppe, vous allez donc encore changer d’avis et ainsi de suite, indéfiniment.

Et pourtant…

Notons $X$ le plus faible des deux montants de telle sorte que l’autre enveloppe contienne $2 \times X$. Comme vous n’avez aucun moyen de les différencier, la probabilité que vous ayez choisi l’une ou l’autre enveloppe est identique à $\frac{1}{2}$.

Combien peut vous rapporter la stratégie qui consiste à changer d’avis ? Deux cas sont possibles et équiprobables : si vous aviez initialement choisi l’enveloppe qui contient seulement $X$ (1 chance sur deux), vous gagnez $X$ en changeant d’enveloppe. En revanche, si vous aviez choisi l’enveloppe qui contient $2X$ (1 chance sur deux aussi), vous perdez $X$ en modifiant ce choix.

$$ E = \frac{1}{2} X + \frac{1}{2} (-X) = 0$$

Vous n’avez donc rien à gagner en changeant d’avis.