Vous jouez à pile ou face pour gagner le contenu du pot. L’enjeu initial est de € 2 mais double à chaque fois que pile apparaît. En revanche, dès que la pièce tombe sur face, le jeu s’arrête et vous repartez avec le contenu du pot. Combien seriez-vous prêt à payer, au maximum, pour jouer à ce jeu ?

Un petit dessin valant mieux qu’un long discours, voici à quoi ressemble les scénarios possibles sur 4 lancers :

Sur ce schéma, concentrez-vous sur les issues possibles du jeu (les nœuds en rouge qui correspondent à un tirage de face). Au premier tirage, vous avez une chance sur deux de tomber sur pile et donc, de gagner €2. Lors du second tirage, ça vous fait une chance sur 4 de gagner € 4 ; au troisième, une chance sur 8 de gagner € 8 et au quatrième, une chance sur 16 de gagner € 16.

En généralisant, vous pouvez donc écrire l’espérance de gain du jeu de Saint Petersbourg comme suit :

$$ E = \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{4} \times 4 + \frac{1}{8} \times 8 + … + \frac{1}{2^n} \times 2^n$$

Ce que ce jeu a de particulier, c’est qu’il peut potentiellement durer indéfiniment. Bien sûr, c’est très peu probable (la probabilité de gagner 20 fois d’affilée, par exemple, est de l’ordre de 0.0001%) mais le montant du gain doublant à chaque fois (au vingtième lancer, ça fait € 1 048 576 !), les deux s’équilibrent de telle sorte l’espérance de gain de chaque tirage supplémentaire est toujours de € 1. C’est-à-dire :

$$ E = \sum_{n = 1}^\infty 1 = \infty$$

C’est le paradoxe de Saint Petersbourg : ce jeu a une espérance de gain infinie et donc, en principe, le montant maximum que vous devriez accepter de mettre sur la table pour y participer est aussi infini. Sauf que non. Dans la pratique, personne n’est prêt à payer n’importe quel prix pour jouer à ce jeu.