Je vous ai proposé un petit quiz sur Twitter donc voici les résultats :
Flip 2 coins. Knowing that at least one falls on heads, what are the odds that the other also falls on heads?
— Guillaume Nicoulaud (@ordrespontane) 16 janvier 2017
L’énoncé disait « Flip 2 coins. Knowing that at least one falls on heads, what are the odds that the other also falls on heads? » Ce que nous pourrions traduire par : « Lancez 2 pièces. Sachant qu’au moins une tombe côté face, quelle est la probabilité pour l’autre tombe également côté face. »
Solution
Partant du principe que nos deux pièces ne sont pas pipées, nos deux lancers peuvent donner lieu à 4 résultats : PF (i.e. la première tombe sur pile ; la seconde sur face), FP, FF et PP.
Or l’énoncé nous dit qu’au moins une des deux est tombée sur face. C’est-à-dire que le cas PP est impossible : nous savons que ça n’est pas arrivé. Il nous reste donc trois possibilités conformes à l’énoncé : PF, FF et FP.
Sur ces trois possibilités, il n’existe qu’un seul cas où les deux pièces sont tombées sur face (FF) : ça nous fait donc une probabilité de 1/3.
L’énoncé
Dans ce type de problèmes, la formulation de l’énoncé est extrêmement importante. Il se trouve que vous êtes un certain nombre à avoir trouvé le mien un peu ambiguë ; je ne suis pas tout à fait convaincu (et ne demande qu’à l’être) mais j’admet volontiers qu’on pouvait mieux faire — dont acte. C’est donc l’occasion de reformuler et, surtout, d’expliquer à ceux qui ne connaissent pas ces petites subtilités de quoi il retourne.
Nouvelle formulation : » Lancez 2 pièces. Sachant qu’au moins une tombe côté face, quelle est la probabilité pour que les deux tombent côté face. »
Présenté comme ça, vous pouvez reproduire exactement le même raisonnement que ci-dessus et trouver une probabilité de 1/3. Mais considérez cette variante : » Lancez 2 pièces. Sachant que la première tombe côté face, quelle est la probabilité pour la seconde tombe aussi côté face. »
Cette fois-ci, nous savons que la première pièce est tombée sur face. Elle sont ordonnées. dans notre petit exercice, ça signifie que sur les quatre scénarios originaux, il n’en reste que FP et FF. Sur ces 2 cas, la seconde pièce ne tombe sur face qu’une seule fois (FF) et ça nous fait donc un probabilité de 1/2.
Pour votre information, ce petit quiz était une version du paradoxe des deux enfants.
21 janvier 2017 at 19 h 08 min
J’ai failli répondre 1/3 à cette question quand elle a été publiée, et je ne l’ai pas fait car le problème est effectivement très mal posé.
Que se passe-t-il, si j’ai bien compris l’intention du test ?
– on lance deux pièces
– un tiers regarde le résultat, et nous dit « au moins un est sur face »
– on doit calculer la probabilité d’avoir deux face.
Mais comment le tiers prend-il la décision de nous dire « au moins un est sur face » ? Ceci n’est pas précisé. Que dit-il quand il voir FP : au moins un sur pile ou au moins un sur face ?
Imaginons que son processus de décision soit
PP -> au moins un pile
FP/PF -> au moins un pile
FF -> au moins un face
dans ce cas, la bonne réponse est P(FF)=1.
Imaginons que son processus de décision soit
PP -> au moins un pile
FP/PF -> au moins un face
FF -> au moins un face
dans ce cas, la bonne réponse est P(FF)=1/3
La réponse 1/3 part du principe qu’il donne priorité aux « face ».
En l’absence de cette information il est impossible de répondre.
21 janvier 2017 at 19 h 14 min
Variante : si l’énoncé avait dit qu’on demande si au moins un est face, et qu’on répond oui, alors dans ce cas la bonne réponse est bien 1/3 : c’est nous qui avons imposé la manière de donner priorité à pile ou face. C’est la manière la plus simple de poser ce problème de manière claire.
Si on avait demandé qu’on nous donne le résultat d’une des pièces, alors on se retrouve dans la situation précédente. Soit l’opérateur est biaisé en faveur de face, et c’est 1/3, soit il est biaisé en faveur de pile, et c’est 1, soit il choisit au hasard, et c’est… 1/2 !
23 janvier 2017 at 14 h 56 min
Vous êtes seul face à un bureau. Fermez les yeux et lancez deux pièces. Avant d’ouvrir les yeux, posez votre main sur l’une des deux pièces de manière à la masquer. En ouvrant les yeux, vous remarquez que la pièce encore visible est tombé sur face. Quelle est la probabilité que celle sous votre paume soit également tombé sur face. Voilà de quoi résoudre votre dilemme 🙂