Je vous ai proposé un petit quiz sur Twitter donc voici les résultats :

L’énoncé disait « Flip 2 coins. Knowing that at least one falls on heads, what are the odds that the other also falls on heads? » Ce que nous pourrions traduire par : « Lancez 2 pièces. Sachant qu’au moins une tombe côté face, quelle est la probabilité pour l’autre tombe également côté face. »

Solution

Partant du principe que nos deux pièces ne sont pas pipées, nos deux lancers peuvent donner lieu à 4 résultats : PF (i.e. la première tombe sur pile ; la seconde sur face), FP, FF et PP.

Or l’énoncé nous dit qu’au moins une des deux est tombée sur face. C’est-à-dire que le cas PP est impossible : nous savons que ça n’est pas arrivé. Il nous reste donc trois possibilités conformes à l’énoncé : PF, FF et FP.

Sur ces trois possibilités, il n’existe qu’un seul cas où les deux pièces sont tombées sur face (FF) : ça nous fait donc une probabilité de 1/3.

L’énoncé

Dans ce type de problèmes, la formulation de l’énoncé est extrêmement importante. Il se trouve que vous êtes un certain nombre à avoir trouvé le mien un peu ambiguë ; je ne suis pas tout à fait convaincu (et ne demande qu’à l’être) mais j’admet volontiers qu’on pouvait mieux faire — dont acte. C’est donc l’occasion de reformuler et, surtout, d’expliquer à ceux qui ne connaissent pas ces petites subtilités de quoi il retourne.

Nouvelle formulation :  » Lancez 2 pièces. Sachant qu’au moins une tombe côté face, quelle est la probabilité pour que les deux tombent côté face.  »

Présenté comme ça, vous pouvez reproduire exactement le même raisonnement que ci-dessus et trouver une probabilité de 1/3. Mais considérez cette variante :  » Lancez 2 pièces. Sachant que la première tombe côté face, quelle est la probabilité pour la seconde tombe aussi côté face.  »

Cette fois-ci, nous savons que la première pièce est tombée sur face. Elle sont ordonnées. dans notre petit exercice, ça signifie que sur les quatre scénarios originaux, il n’en reste que FP et FF. Sur ces 2 cas, la seconde pièce ne tombe sur face qu’une seule fois (FF) et ça nous fait donc un probabilité de 1/2.

Pour votre information, ce petit quiz était une version du paradoxe des deux enfants.