Ce matin, @epenser a posé une question intriguante : est-il possible de prouver que le hasard existe (ou l’inverse) ? C’est une question théorique intéressante qui recoupe un débat qui a eu lieu, sans conclusion, entre von Neumann et Wiener, sur la capacité de prédire l’état futur d’un système à partir de son état actuel.

Disclaimer : ceci est une distraction intellectuelle, commencée en pause déjeuner et finie dans le train, maniant des concepts scientifiques afin d’explorer intuitivement et par rapport à des concepts connus l’idée de hasard et la question théorique de Bruce. Ce n’est absolument pas une démonstration rigoureuse, si vous réagissez sur les réseaux sociaux, gardez le même esprit.

Disclaimer 2 : Contrairement aux autres articles de ce site, qui ont pour objectif de vulgariser des sujets complexes, celui-ci est ouvertement geek, et pas dans le sens dévoyé de l’achat annuel d’un téléphone orné d’une pomme. J’ai mis quelques liens wikipedia, mais si vous n’y panez rien, ce n’est pas complètement anormal. Vu le profil des gens qui réagissaient sur twitter, je pense toutefois qu’il amusera certains.

Mon point ici est que même dans les conditions les plus exigeantes, il existe une dimension aléatoire dans une définition raisonnable d’un univers. Ceci n’est pas une preuve mais donne quelques pistes de réflexion vers une preuve crédible (ce qui permettra aussi de garder ce texte lisible). A titre intuitif, je trouve à cette question un air de parenté avec le problème de l’arrêt et avec une formalisation plus stricte on pourrait probablement répondre avec une démonstration basée sur l’argument de la diagonale de Cantor (aussi utilisé dans la démonstration d’un lemme essentiel aux théorèmes d’incomplétude de Gödel).

Commençons dont par quelques définitions :

Univers : Un univers est un ensemble d’objets pouvant connaitre l’état les uns des autres (potentiellement le modifier en interagissant, mais ce n’est pas nécessaire au raisonnement, n’utilisons pas d’hypothèse inutile). De la même manière, nous n’avons pas besoin de limiter ce transfert d’information à la vitesse de la lumière (au cas où Einstein aurait tort), ni de supposer qu’il est impossible de connaitre parfaitement cet état (au cas où Heisenberg ait tort). Il pourrait s’agir de notre univers à l’intérieur de l’horizon cosmologique, ou simplement d’une expérience en laboratoire, isolée de toute influence extérieure.

Observateur extérieur d’un univers : objet pouvant connaitre l’état des objets de l’univers considéré, sans que l’inverse soit vrai.

Univers chaotique : univers non trivial muni d’objets et d’interactions permettant l’apparition de systèmes chaotiques.

Hasard : Nous allons prendre ici une définition inspirée de l’entropie de Shannon. Le hasard existe si, pour toute quantité d’information ε, il existe une durée au-delà de laquelle la connaissance que nous avons de la situation initiale de notre univers nous donne une information inférieure à ε de la situation dans le futur. Dit autrement : notre capacité à prévoir tend vers zéro avec le temps.

C’est une définition exigeante : non seulement elle exige qu’il soit impossible de prévoir exactement, mais aussi qu’avec le temps l’erreur devienne arbitrairement large.

A noter : une intervention extérieure (divine par exemple) dans l’univers le rend imprévisible et rentre dans cette définition. Notre univers peut être sujet au hasard de l’intérieur, et sans aucun hasard vu de l’extérieur. Notre définition ne concerne que ce qui est visible de l’intérieur de l’univers.

Réflexion

Si certaines lois d’un univers sont non-déterministes il est trivial que le hasard existe dans cet univers.

S’il est impossible de mesurer exactement l’état d’un univers chaotique, il est trivial que le hasard existe dans cet univers. La moindre incertitude entraîne l’apparition d’un horizon de Lyapounov.

Selon nos connaissances actuelles, cela impliquerait que le hasard existe dans notre univers, mais quelles sont les conséquences si notre connaissance de la physique est incomplète au point que ces prémisses sont faux ?

Now that’s interesting : les univers déterministes

Le cas intéressant est celui d’un univers dont l’état peut être connu et dont les lois sont parfaitement déterministes.

Univers non chaotique

Si l’univers est non chaotique, il existe des univers imaginables où le hasard n’existe pas, un univers parfaitement vide d’objet et sans loi, par exemple.

En revanche, il existe au moins un exemple simple d’univers non chaotique selon cette définition présentant un élément de hasard : une machine de Turing. Le problème de l’arrêt fait qu’il n’existe pas de programme permettant à la machine de Turing de savoir si un programme s’arrêtera, ou quand. Il est nécessaire, pour supprimer cet élément d’incertitude fondamental, de rajouter un objet extérieur à la machine de Turing, qu’on appelle un Oracle.

Même si par miracle, il n’existait aucun système chaotique dans notre univers, grâce à une théorie MOND étrange rendant les systèmes à N corps non chaotiques aux grandes échelles par exemple (ie, l’erreur de prévision serait bornée), et que tous les autres systèmes chaotiques ne le semblaient que par méconnaissance de la physique1)Ce serait un coup à me rendre théiste !, il est fort probable qu’il soit démontrable qu’il resterait au moins une variante du problème de l’arrêt nécessitant un observateur extérieur qui fonctionnerait comme un Oracle pour éviter une situation de hasard. Des situations resteraient donc des cas de hasard pour tout observateur situé au sein de l’univers.

Univers chaotique

En dehors de l’équivalent du problème de l’arrêt, un univers chaotique déterministe a un autre problème. Il se comporte comme un générateur pseudo-aléatoire dont l’état est l’univers lui même dont nous pourrions calculer les états suivants. Cet univers étant chaotique, il est nécessaire, pour le prévoir, de le simuler parfaitement ce qui nécessite de stocker a minima l’état final complet de la simulation afin de l’observer (dans la pratique, pour les calculs nous devrons aussi stocker au moins un état intermédiaire), ce qui nécessite au moins un univers de même taille, aucune simplification n’étant possible.

Ici à nouveau, nous avons besoin d’un observateur extérieur qui dispose au moins deux autres univers de même taille pour simuler le notre. Lui pourra prévoir l’évolution de notre univers, mais pour un observateur intérieur, il demeurera imprévisible et sujet au hasard. Son seul moyen de connaitre le futur sera d’attendre qu’il se produise. Chose intéressante, ce sera la même chose pour un observateur à l’intérieur de la simulation (ce qui ressemble au sujet de Matrix).

Conclusion

Ceci n’est pas une preuve bien sur, plutôt une série d’éléments de réflexion. Pour prendre une comparaison, dans la vie de tous les jours, un lancer de dé est considéré comme aléatoire, bien que purement déterministe2)Au niveau macroscopique. et soumis à des lois bien connues. Avec des caméras et un ordinateur, il est toutefois possible, au moins théoriquement, de prévoir sur quelle face tombera le dé à condition de mesurer les conditions initiales suffisamment précisément, en simulant sa trajectoire. Mon sentiment ici, est que pour une raison (impossibilité de stocker l’état complet) ou une autre (sorte d’incomplétude logique du type problème de l’arrêt), il est impossible, même théoriquement, de résoudre complètement un univers aussi complexe que le notre de l’intérieur, et qu’il conserve nécessairement une part absolument non prévisible que nous avons appelé hasard.

Le cas intéressant, bien que peu probable, est celui d’un univers non-chaotique et déterministe, et non soumis à une incertitude type problème de l’arrêt : dans ce cas les erreurs seraient bornées. Il serait dans ce cas possible de faire des prédictions approximatives à long terme, du moins théoriquement. L’état du monde nous donnerait un moyen de calculer une approximation de l’état du monde à long terme.

C’est une excellente idée de science fiction, qui a notamment nourri le cycle de Fondation d’Asimov, avec le concept de psychohistoire. Un tel monde ne serait pas sujet au hasard, tel que nous l’avons défini, le présent nous donnant une information sur le futur qui ne tend pas vers zéro pour les très longues période. Si vous lisez Fondation, peut être trouverez vous cette définition du hasard trop forte, tant l’imprévu reste présent dans ce monde.

 

References   [ + ]

1. Ce serait un coup à me rendre théiste !
2. Au niveau macroscopique.